Cho hai hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {1;3} \right]$ thỏa mãn $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx = 1, \int\limits_1^3 {g\left( x \right)} dx = 3$. Tính $\int\limits_3^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]} dx$?

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3]. Nếu $\int_{1}^{2} f(x) d x=4$ thì tích phân $\int_{1}^{2}[k x-f(x)] d x=-1$ giá trị k bằng
 

Cho hàm số $f(x)=\frac{a}{x^{2}}+\frac{b}{x}+2, \text { với } a, b$ là các số hữu tỉ thỏa điều kiện $\int_{\frac{1}{2}}^{1} f(x) \mathrm{d} x=2-3 \ln 2$.Tính T= a+b.

 Tính tích phân $I=\int_{0}^{2} \max \left\{x ; x^{3}\right\} d x$

Tính tích phân sau $\mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {{x^3} - 1} \right)dx$

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_2^3 \frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^3} + 1} }}$. Xác định 3a+b biết $I = a\ln \left( {29 - 2\sqrt {27} } \right) + b\ln 3 + a\ln 2.$ $(a,b \in \mathbb{R})$

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $f(0)=\frac{1}{3}$ và $f(x)-f^{\prime}(x)=[f(x)]^{2}$  với mọi $x \in[0 ; 1]$.Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0 ; x=1$

Nếu $\int_{ – 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2$ thì $\int_{ – 1}^0 {f\left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x}$ bằng

Xét hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện f(1) = 1 ; f(2) = 44. Tính $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOsaiabg2 % da9maapehabaWaaeWaaeaadaWcaaqaaiqadAgagaqbamaabmaabaGa % amiEaaGaayjkaiaawMcaaiabgUcaRiaaikdaaeaacaWG4baaaiabgk % HiTmaalaaabaGaamOzamaabmaabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaiab % gUcaRiaaigdaaeaacaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaaaOGaay % jkaiaawMcaaiaabsgacaWG4baaleaacaaIXaaabaGaaGOmaaqdcqGH % RiI8aaaa!4D39! J = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{{f'\left( x \right) + 2}}{x} - \frac{{f\left( x \right) + 1}}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x}$

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{x}{4}, y=0, x=1, x=4$ quay quanh trục Ox bằng
 

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [4;8] và $f(0) \neq 0 \text { với } \forall x \in[4 ; 8]$. Biết rằng $\int_{4}^{8} \frac{\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}}{[f(x)]^{4}} d x=1 \text { và } f(4)=\frac{1}{4}, f(8)=\frac{1}{2}$ . Tính $f(6)$

 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x² + x − 1 và y = x⁴ + x − 1 là:

Tích phân $\int\limits_1^e {x\ln xdx}$ bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn f(2016) = a, f(2017) = b, $\left( {a;\;b \in R} \right)$. Giá trị $I = \mathop \smallint \nolimits_{2017}^{2016} 2015f'\left( x \right).{f^{2014}}\left( x \right)dx$ bằng:

Tìm nguyên hàm của hàm số $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzamaabm % aabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iaadIhacaWGLbWaaWba % aSqabeaacaWG4baaaOGaaiOlaaaa!3E38! f\left( x \right) = x{e^x}.$

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và a > 0. Giả sử rằng với mọi x ∈ [0;a], ta có f(x) > 0 và f(x)f(a – x) = 1. Tính $I = \mathop \smallint \nolimits_0^a \frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}$

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn $f(4-x)=f(x)$. Biết $\int_{1}^{3} x f(x) \mathrm{d} x=5$ . Tính tích phân  $\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x$

Tích phân $\int_{a}^{b} f(x) d x$ được phân tích thành 

Cho $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\,$ và $\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\,$, khi $\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \,$ bằng

Tính $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaGaaG4maiaadIhacaGGUaGaamyzamaaCaaaleqabaGa % aGOmaiaadIhaaaGccaqGKbGaamiEaaWcbaGaaGimaaqaaiaaigdaa0 % Gaey4kIipaaaa!42D0! I = \int\limits_0^1 {3x.{e^{2x}}{\rm{d}}x}$

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = $\frac{1}{{1 + \sqrt {4 - 3x} }}$ và y = 0; x = 0; x = 1 xung quanh Ox