Tích phân \( \int\limits_{0}^{\pi}(3 x+2) \cos ^{2} x d x\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(I=\int\limits_0^{\pi}(3 x+2) \cos ^{2} x d x\) ta có:
\(I=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi}(3 x+2)(1+\cos 2 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}\left[\int_{0}^{\pi}(3 x+2) \mathrm{d} x+\int_{0}^{\pi}(3 x+2) \cos 2 x \mathrm{d} x\right]=\frac{1}{2}\left(I_{1}+I_{2}\right)\)
\(I_{1}=\int_{0}^{\pi}(3 x+2) \mathrm{d} x=\left.\left(\frac{3}{2} x^{2}+2 x\right)\right|_{0} ^{\pi}=\frac{3}{2} \pi^{2}+2 \pi\)
\(I_{2}=\int_{0}^{\pi}(3 x+2) \cos 2 x \mathrm{d} x\).
Dùng tích phân từng phần
\(\left\{\begin{array}{l} u=3 x+2 \\ \mathrm{d} v=\cos 2 x \mathrm{d} x \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \mathrm{d} u=3 \mathrm{d} x \\ v=\frac{1}{2} \sin 2 x \end{array}\right.\right.\)
Khi đó: \(I_{2}=\left.\frac{1}{2}(3 x+2) \sin 2 x\right|_{0} ^{\pi}-\frac{3}{2} \int_{0}^{\pi} \sin 2 x \mathrm{d} x=0+\left.\frac{3}{4}(\cos 2 x)\right|_{0} ^{\pi}=0\)
Vậy \( I=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2} \pi^{2}+2 \pi\right)=\frac{3}{4} \pi^{2}+\pi\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường cong \(y=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\), trục hoành và đường thẳng x = e . Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
-
Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên [0;1]. Biết \(f(x) \cdot f(1-x)=1, \forall x \in[0 ; 1] .\) Tính giá trị của \(I=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}\)
-
Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \sqrt {1 - {x^2}} dx\)
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^3} + 11x - 6,\;y = 6{x^2}\), x = 0, x = 2. (Đơn vị diện tích)
-
Cho Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn \(\int\limits_0^{2021} {f(x)dx = 2} \). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^{2021}} – 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}.f\left( {\ln ({x^2} + 1)} \right).dx} \)
-
Đổi biến x = 2sint tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\) trở thành:
-
Cho hàm số f(x)liên tục trên \(R \text { và } \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(\tan x) \mathrm{d} x=4 ; \int_{0}^{1} \frac{x^{2} f(x)}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x=2 . \text { Tính } I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)
-
Cho \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10\). Kết quả \(\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \) bằng
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng x = 4 , x = 9 và đường cong có phương trình \(y^{2}=8 x\)
-
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x \) và y = x quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành bằng:
-
Cho hàm số \(y=f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 6 x^{2} & \text { khi } & x \leq 0 \\ a-a^{2} x & \text { khi } & x \geq 0 \end{array} \text { và } I=\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x\right.\). Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên \(I+22 \geq 0 ?\)
-
Tính tích phân sau: \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \sqrt {1 - {x^2}} dx\)
-
Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là
-
Cho hàm số f(x) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=2 \sqrt{f(x)}, \forall x \in[0 ; 1] \text { và } f(0)=1\) .Giá trị của tích phân \(\int_{0}^{1} f(x) d x\)x bằng ?
-
Tập hợp nghiệm của bất phương trình \(\int_{0}^{x} \frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}} \mathrm{d} t>0(\text { ẩn } x)\) là:
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{a^{2} x^{3}+a x}{\sqrt{a x^{2}+1}} d x, \text { vói } a \geq 0\) có giá trị là:
-
Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 2 x^{2}+x & \text { khi } & x \geq 0 \\ x \cdot \sin x & \text { khi } & x \leq 0 \end{array}\right.\). Tính tích phân \(I=\int_{-\pi}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)
-
Cho tích phân \(\int_{0}^{1} \sqrt[3]{1-x} d x\) với cách đặt \(t=\sqrt[3]{1-x}\) thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào sau đây?
-
\(\begin{equation} \text { Nếu } \int_{2}^{5} f(x) d x=10 \text { và } \end{equation}\)\(\begin{equation} \int_{2}^{9} f(x) d x=7 \text { thì } \int_{5}^{9} f(x) d x \text { bằng } \end{equation}\)
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_0^3 {f(x){\rm{d}}x} = 8\) và \(\int\limits_0^5 {f(x){\rm{d}}x} = 4\). Tính \(\int\limits_{ – 1}^1 {f(\left| {4x – 1} \right|){\rm{d}}x} \)
