Cho hàm số f x   có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và $f^{\prime}(x)\left(1+e^{f(x)}\right)=1+e^{x}, \forall x \in \mathbb{R}$ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1, x=3$

Để hàm số f(x) = asinπx + b thỏa mãn f(1) = 2 và $\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx = 4$ thì a, b nhận giá trị

Tích phân $\int_{0}^{\pi} x \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) d x$ có giá trị bằng
 

Tính tích phân sau $D = \mathop \smallint \nolimits_0^2 \sqrt {4 - {x^2}} xdx$

Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm liên tục trên đoạn [1 ; 4] đồng biến trên đoạn [1 ; 4] và thỏa mãn đẳng thức $x+2 x \cdot f(x)=\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}, \forall x \in[1 ; 4]$. Biết rằng $f(1)=\frac{3}{2}$ . Tính $I=\int_{1}^{4} f(x) \mathrm{d} x ?$

Tích phân $I=\int_{-1}^{1}\left(x^{3}+3 x+2\right) d x$ có giá trị là:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số$y=\cos x$ , trục tung, trục hoành và đường thẳng $x =\pi$ bằng

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = tanx , trục hoành và hai đường thẳng $x = \frac{{\rm{\pi }}}{6};\;x = \;\frac{{\rm{\pi }}}{4}$ là

Cho hai hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {1;3} \right]$ thỏa mãn $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx = 1, \int\limits_1^3 {g\left( x \right)} dx = 3$. Tính $\int\limits_3^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]} dx$?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = \sqrt 6$ và y = 6 - x và trục tùng là

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x}$và các đường thẳng y = 0, x =1, x = 4 . Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H ) quay quanh trục Ox .

Tích phân $I=\int_{2}^{3} \frac{a^{2} x^{2}+2 x}{a x} d x$ có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là:

Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho $\int_{1}^{5} f(x) d x=-7 \text { và } \int_{1}^{5} g(x) d x=5$ và $\int_{1}^{5}[g(x)-k f(x)] d x=19$ Giá trị của k là:
 

Cho số thực a thỏa mãn $\int_{1}^{a} e^{x+1} d x=e^{4}-e^{2}$ , khi đó a có giá trị bằng
 

Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox, có công thức là:

Giá trị của tích phân $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\text{max}\left\{ \sin x,\cos x \right\}\text{d}x}$ bằng

Hình (S) giới hạn bởi y = 3x + 2, Ox, Oy. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình (S) quanh trục Ox.

Tính tích phân $I=\int_{0}^{3} \frac{\mathrm{d} x}{x+2}$

Tích phân $I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}(\sin 2 x-\cos 3 x) d x$ có giá trị là

Giả sử $\int_{0}^{2} \frac{x-1}{x^{2}+4 x+3} \mathrm{d} x=a \ln 5+b \ln 3 ; a, b \in \mathbb{Q}$. Tính P=ab

Cho hàm số $f(x) \neq 0$ thỏa mãn điều kiện $f^{\prime}(x)=(2 x+3) \cdot f^{2}(x) \text { và } f(0)=\frac{-1}{2}$. Biết tổng $f(1)+f(2)+\ldots+f(2017)+f(2018)=\frac{a}{b} \text { với } a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}^{*} \text { và } \frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng