Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt 6 \) và y = 6 - x và trục tùng là

Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \left( {2x + 3} \right).\sin \;4xdx\)

\(\text { Nếu } \int_{0}^{2}(2 x-3 f(x)) \mathrm{d} x=3 \text { thì } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x \text { bằng }\)

Tính \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\cos }^5}\varphi }  - {\sin ^5}\varphi )d\varphi \)

Nếu \(\begin{equation} \int_{-1}^{4}[5 f(x)-3] \mathrm{d} x=5 \text { thì } \int_{-1}^{4} f x \mathrm{~d} x \text { bằng } \end{equation}\)

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\frac{1}{x}, y=0, x=1, x=a,(a>1)\) quay xung quanh trục Ox .

Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = tan x , trục hoành và các đường thẳng \(x=0, x=\frac{\pi}{4}\) Quay (H ) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng
 

Giả sử hàm số y =f(x)liên tục, nhận giá trị dương trên \((0 ;+\infty)\)và thỏa mãn \(f(x)=f^{\prime}(x) \sqrt{3 x+1}\) , với mọi x > 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 

Cho hàm số f(x)liên tục trên \(R \text { và } \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(\tan x) \mathrm{d} x=4 ; \int_{0}^{1} \frac{x^{2} f(x)}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x=2 . \text { Tính } I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y=x^{3}-x, y=x-x^2\)

Tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x \cos 2 x d x\) có giá trị bằng

Xét hàm số f(x) liên tục trên [0;2] và thỏa mãn điều kiện \(f(x)+f(2-x)=2 x\) .Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{2} f(x) d x\)?

Xét hàm số f(x) liên tục trên [0;1] và thỏa mãn điều kiện \(2 f(x)+3 f(1-x)=x \sqrt{1-x}.\) Tính tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) d x\)

Tính \(I=\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}\)

Biết \(\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x+1}+(x+1) \sqrt{x}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c} \text { với } a, b, c\) là các số nguyên dương. Giá trị của \(P=a+b+c\) là:

Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx\)

Biết \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+x \cos x-\sin ^{3} x}{1+\cos x} \mathrm{d} x=\frac{\pi^{2}}{a}-\frac{b}{c}\). Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số \(\frac{b}{c}\) tối giản. Tính \(T=a^{2}+b^{2}+c^{2}\)

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox đồ thị hàm số : \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}\) và các đường y = 0, x = 0, x = 3.

Tích phân \(I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x-\cos x) d x\) 1có giá trị là:

Để hàm số f(x) = asinπx + b thỏa mãn f(1) = 2 và \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx = 4\) thì a, b nhận giá trị