Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên ℝ và $f(x)+2 f\left(\frac{1}{x}\right)=3 x$. Tính $I=\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f(x)}{x} d x$

Xét tích phân $I=\int_{0}^{\pi / 3} \frac{\sin 2 x}{1+\cos x} d x$ . Thực hiện phép đổi biến $t=\cos x$, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây?

Cho hàm số y=f(x) và thỏa mãn $f(x)-8 x^{3} f\left(x^{4}\right)+\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}}=0$. Tích phân $I=\int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{a-b \sqrt{2}}{c} \text { vói } a, b, c \in \mathbb{Z}$ và $\frac{a}{c} ; \frac{b}{c}$tối giản. Tính a+b+c

Cho $\int_{0}^{1} \ln (x+1) \mathrm{d} x=a+\ln b,(a, b \in \mathbb{Z}) . \operatorname{Tính}(a+3)^{b}$

Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn $f(1)=$ và $f(x)-(x+1) f^{\prime}(x)=2 x f^{2}(x), \forall x \in[1 ; 2]$ Giá trị của $\int_{1}^{2} f(x) d x$ bằng?

Cho hàm số f(x) xác định trên $\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{1}{3}\right\}$ thỏa mãn $f^{\prime}(x)=\frac{3}{3 x-1}, f(0)=1 \text { và } f\left(\frac{2}{3}\right)=2$. Giá trị của biểu thức $f(-1)+f(3)$bằng 

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên ℝ . Biết $f^{6}(x) \cdot f^{\prime}(x)=12 x+13 \text { và } f(0)=2$ . Khi đó phương trình $f(x)=3$ có bao nhiêu nghiệm? 

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H ) giới hạn bởi$y=x^{2}\text{ và }y=x+2$ quanh trục Ox là

Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng ( phần gạch sọc ) là: 

Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3 – 2x}}}$

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4x}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\ { - 2x + 12}&{{\rm{ khi }}x \le 2} \end{array}} \right.$. Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\frac{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx+\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{2x}}.f\left( 1+{{e}^{2x}} \right)dx}$

Khi tính $I=\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{d} x$ bằng phép đặt $x=2 \sin t$ thì được

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$, thỏa mãn $\int_0^\pi {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2$. Giá trị tích phân $I = \int_{ – \pi }^\pi {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{2020}^x} + 1}}{\rm{d}}x}$ bằng?

Tích phân $I=\int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{x^{2}-7 x+12} d x$ có giá trị bằng
 

Xét hàm số f(x) liên tục trên [0;1] và thỏa mãn điều kiện $4 x f\left(x^{2}\right)+3 f(x-1)=\sqrt{1-x^{2}}$ . Tích phân $I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ bằng 

Tính tích phân $I=\int_{0}^{3} \frac{\mathrm{d} x}{x+2}$

Tích phân $I=\int_{-1}^{2}\left|x^{2}-2x\right| d x$ có giá trị là:

Cho f(x);g(x) là các hàm số liên tục trên R thoả mãn $\int_{0}^{1} f(x) d x=3$, $\int_{0}^{2}[f(x)-3 g(x)] d x=4 \text { và } \int_{0}^{2}[2 f(x)+g(x)] d x=8$. $\text { Tính } \int_{1}^{2} f(x) d x$

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int_{1}^{16} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=6 \text { và } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \cos x \mathrm{~d} x=3$. Tính tích phân $I=\int_{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x$

Tính tích phân $\mathop \smallint \nolimits_0^1 x.{e^x}dx$

Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {x{{(1 + {x^2})}^4}} dx$