Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4x}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\ { - 2x + 12}&{{\rm{ khi }}x \le 2} \end{array}} \right.\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\frac{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx+\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{2x}}.f\left( 1+{{e}^{2x}} \right)dx}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\frac{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx+\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{2x}}.f\left( 1+{{e}^{2x}} \right)dx}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}\)
Đặt \(t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+1\Rightarrow 2tdt=2xdx\Rightarrow xdx=tdt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 1\\ x = \sqrt 3 \Rightarrow t = 2 \end{array} \right.\).
\(\Rightarrow {{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{2}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{1}^{2}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}\)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4x}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\ { - 2x + 12}&{{\rm{ khi }}x \le 2} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow {{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{2}{\left( -2x+12 \right)dx}=9\).
Đặt \(t=1+{{e}^{2x}}\Rightarrow dt=2{{e}^{2x}}dx\Rightarrow {{e}^{2x}}dx=\frac{1}{2}dt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = \ln 2 \Rightarrow t = 5\\ x = \ln 3 \Rightarrow t = 10 \end{array} \right.\).
\(\Rightarrow {{I}_{2}}=\frac{1}{2}\int\limits_{5}^{10}{f\left( t \right)dt}=\frac{1}{2}\int\limits_{5}^{10}{f\left( x \right)dx}\)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4x}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\ { - 2x + 12}&{{\rm{ khi }}x \le 2} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow {{I}_{2}}=\frac{1}{2}\int\limits_{5}^{10}{4x}=75\).
Vậy \(I={{I}_{1}}+{{I}_{2}}=84\)
