Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng \((1 ;+\infty)\) và thỏa mãn \(\left(x f^{\prime}(x)-2 f(x)\right) \ln x=x^{3}-f(x), \forall x \in(1 ;+\infty)\) ; biết \(f(\sqrt[3]{e})=3 e\) . Giá trị f (2) thuộc khoảng nào dưới đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVì \(x \in(1 ;+\infty)\) nên ta có
\(\begin{aligned} &\left(x^{2} f^{\prime}(x)-2 x f(x)\right) \ln x=x^{4}-x f(x) \Leftrightarrow\left(\frac{x^{2} f^{\prime}(x)-2 x f(x)}{x^{4}}\right) \ln x=1-\frac{f(x)}{x^{3}}\\ &\Rightarrow\left(\frac{f(x)}{x^{2}}\right)^{\prime} \ln x=1-\frac{f(x)}{x^{3}} \Leftrightarrow \int\left(\frac{f(x)}{x^{2}}\right)^{\prime} \ln x \mathrm{~d} x=\int\left(1-\frac{f(x)}{x^{3}}\right) \mathrm{d} x\\ &\Leftrightarrow \frac{f(x) \ln x}{x^{2}}-\int \frac{f(x)}{x^{3}} \mathrm{~d} x=x-\int \frac{f(x)}{x^{3}} \mathrm{~d} x+C\\ &\Leftrightarrow \frac{f(x) \ln x}{x^{2}}=x+C \Leftrightarrow \frac{f(x) \ln x}{x^{2}}=x+C \Leftrightarrow f(x)=\frac{x^{2}(x+C)}{\ln x}\\ &\text { Theo bài ra } f(\sqrt[3]{e})=3 e \Rightarrow C=0 \Rightarrow f(x)=\frac{x^{3}}{\ln x}\\ &\text { Do dó } f(2)=\frac{8}{\ln 2} \in\left(\frac{23}{2} ; 12\right) \text { . } \end{aligned}\)
