Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(\left[x f^{\prime}(x)\right]^{2}+1=x^{2}\left[1-f(x) \cdot f^{\prime \prime}(x)\right]\) với mọi x dương. Biết \(f(1)=f^{\prime}(1)=1\) . Giá trị \(f^{2}(2)\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Ta có: }\left[x f^{\prime}(x)\right]^{2}+1=x^{2}\left[1-f(x) \cdot f^{\prime \prime}(x)\right] ; x>0 \\ \Leftrightarrow x^{2} \cdot\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+1=x^{2}\left[1-f(x) \cdot f^{\prime \prime}(x)\right] \Leftrightarrow\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+\frac{1}{x^{2}}=1-f(x) \cdot f^{\prime \prime}(x) \\ \Leftrightarrow\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+f(x) \cdot f^{\prime \prime}(x)=1-\frac{1}{x^{2}} \Leftrightarrow\left[f(x) \cdot f^{\prime}(x)\right]^{\prime}=1-\frac{1}{x^{2}} \\ \text { Do đó: } \int\left[f(x) \cdot f^{\prime}(x)\right] \cdot \mathrm{d} x=\int\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right) \cdot \mathrm{d} x \Rightarrow f(x) \cdot f^{\prime}(x)=x+\frac{1}{x}+c_{1} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \text { Vì } f(1)=f^{\prime}(1)=1 \Rightarrow 1=2+c_{1} \Leftrightarrow c_{1}=-1 \\ \text { Nên } \int f(x) \cdot f^{\prime}(x) \cdot \mathrm{d} x=\int\left(x+\frac{1}{x}-1\right) \cdot \mathrm{d} x \Leftrightarrow \int f(x) \cdot \mathrm{d}(f(x))=\int\left(x+\frac{1}{x}-1\right) \cdot \mathrm{d} x \\ \Rightarrow \frac{f^{2}(x)}{2}=\frac{x^{2}}{2}+\ln x-x+c_{2} . \text { Vì } f(1)=1 \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-1+c_{2} \Leftrightarrow c_{2}=1 \\ \text { Vậy } \frac{f^{2}(x)}{2}=\frac{x^{2}}{2}+\ln x-x+1 \Rightarrow f^{2}(2)=2 \ln 2+2 \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường cong \(y=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\), trục hoành và đường thẳng x = e . Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [-1;1], thỏa mãn \(f(x)>0, \forall x \in \mathbb{R}\) và \(f^{\prime}(x)+2 f(x)=0\). Biết \(f(1)=1, \text { tính } f(-1)\)?
-
Tính \(\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2x} .{\cos ^2}xdx\)
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^4} + 2{x^2} - 1\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x < 1\\ 3 - {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 1 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{1}^{{{e}^{4}}}{f\left( \sqrt{4-\ln x} \right)}\frac{1}{x}\text{d}x\).
-
Biết \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{x}{{4 - {x^2}}}dx = - \frac{1}{2}\ln \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và a,b>0a,b>0 thì a2−ba2-b bằng
-
\(\begin{equation} \text { Nếu } \int_{1}^{2} f(x) d x=3 \end{equation}\) \(\begin{equation} \text { và } \int_{1}^{2} g(x) d x=-1 \text { thì } \int_{1}^{2}[2 f(x)+3 g(x)] d x \text { bằng } \end{equation}\)
-
Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^{2}-4 x+3\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1 ; x=3\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {x^2} - x + 3\) và y = 2x + 1 là:
-
Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {3{x^2} + 2x - 1} \right)dx\) bằng
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 10] thỏa mãn \(\mathop \smallint \nolimits_0^{10} f\left( x \right)dx = 7,\mathop \smallint \nolimits_2^6 f\left( x \right)dx = 3\). Tính \(P = \mathop \smallint \nolimits_0^2 f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \nolimits_6^{10} f\left( x \right)dx\)
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}, y=-\frac{1}{3} x+\frac{4}{3}\) và trục hoành.
-
Để hàm số f(x) = asinπx + b thỏa mãn f(1) = 2 và \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx = 4\) thì a, b nhận giá trị
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn \(f(2)=3, \int_{0}^{2}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=4 \text { và } \int_{0}^{2} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{3} . \text { Tích phân } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x\) bằng:
-
Cho \(\int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1\). Tính \(\int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + {{\sin }^{2021}}x} \right]{\rm{d}}x} \)
-
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường\(y=x^{2}, y=0, x=0, x=4\) . Đường thẳng \(y=k(0<k<16)\) chia hình thành hai phần có diện tích \(S_{1}, S_{2}\) , (hình vẽ). Tìm k để \(S_{1}=S_{2}\)
-
Tính tích phân sau \(D = \mathop \smallint \nolimits_0^2 \sqrt {4 - {x^2}} xdx\)
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos x} d x\) có giá trị là:
-
Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
-
Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x \cos 2 x d x\) là
-
Biết rằng \(\int\limits_{-1}^{1} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{d} x=\frac{2 \pi}{3}+a\). Khi đó a bằng:
