Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(\left[x f^{\prime}(x)\right]^{2}+1=x^{2}\left[1-f(x) \cdot f^{\prime \prime}(x)\right]\) với mọi x dương. Biết \(f(1)=f^{\prime}(1)=1\) . Giá trị \(f^{2}(2)\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Ta có: }\left[x f^{\prime}(x)\right]^{2}+1=x^{2}\left[1-f(x) \cdot f^{\prime \prime}(x)\right] ; x>0 \\ \Leftrightarrow x^{2} \cdot\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+1=x^{2}\left[1-f(x) \cdot f^{\prime \prime}(x)\right] \Leftrightarrow\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+\frac{1}{x^{2}}=1-f(x) \cdot f^{\prime \prime}(x) \\ \Leftrightarrow\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+f(x) \cdot f^{\prime \prime}(x)=1-\frac{1}{x^{2}} \Leftrightarrow\left[f(x) \cdot f^{\prime}(x)\right]^{\prime}=1-\frac{1}{x^{2}} \\ \text { Do đó: } \int\left[f(x) \cdot f^{\prime}(x)\right] \cdot \mathrm{d} x=\int\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right) \cdot \mathrm{d} x \Rightarrow f(x) \cdot f^{\prime}(x)=x+\frac{1}{x}+c_{1} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \text { Vì } f(1)=f^{\prime}(1)=1 \Rightarrow 1=2+c_{1} \Leftrightarrow c_{1}=-1 \\ \text { Nên } \int f(x) \cdot f^{\prime}(x) \cdot \mathrm{d} x=\int\left(x+\frac{1}{x}-1\right) \cdot \mathrm{d} x \Leftrightarrow \int f(x) \cdot \mathrm{d}(f(x))=\int\left(x+\frac{1}{x}-1\right) \cdot \mathrm{d} x \\ \Rightarrow \frac{f^{2}(x)}{2}=\frac{x^{2}}{2}+\ln x-x+c_{2} . \text { Vì } f(1)=1 \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-1+c_{2} \Leftrightarrow c_{2}=1 \\ \text { Vậy } \frac{f^{2}(x)}{2}=\frac{x^{2}}{2}+\ln x-x+1 \Rightarrow f^{2}(2)=2 \ln 2+2 \end{array}\)
