Cho f (x) không âm thỏa mãn điều kiện \(f(x) \cdot f^{\prime}(x)=2 x \sqrt{f^{2}(x)+1} \text { và } f(0)=0\) . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=f(x)trên [1;3] là ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &f(x) \cdot f^{\prime}(x)=2 x \sqrt{f^{2}(x)+1} \Leftrightarrow \frac{f(x) \cdot f^{\prime}(x)}{\sqrt{f^{2}(x)+1}}=2 x \Rightarrow \int \frac{f(x) \cdot f^{\prime}(x)}{\sqrt{f^{2}(x)+1}} d x=\int 2 x d x\\ &\Leftrightarrow \sqrt{f^{2}(x)+1}=x^{2}+C\\ &\text { Với } f(0)=0 \Rightarrow C=1 \Rightarrow \sqrt{f^{2}(x)+1}=x^{2}+1 \Rightarrow f^{2}(x)=x^{4}+2 x^{2}=g(x)\\ &\text { Ta có: } g^{\prime}(x)=4 x^{3}+4 x>0, \forall x \in[1 ; 3] \text { . Suy ra } g(x) \text { đồng biến trên }[1 ; 3]\\ &\text { Suy ra: } g(1) \leq g(x)=f^{2}(x) \leq g(3) \Rightarrow 3 \leq f^{2}(x) \leq 99 \longrightarrow f(x) \geq 0 \quad \longrightarrow \sqrt{3} \leq f(x) \leq 3 \sqrt{11}\\ &\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \min _{[1 ; 3]} f(x)=\sqrt{3} \\ \operatorname{Max}_{\sqrt{3}} f(x)=3 \sqrt{11} \end{array}\right. \end{aligned}\)
Vậy tổng cần tìm là \(3 \sqrt{11}+\sqrt{3}\)
