Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan x \cdot f\left(\cos ^{2} x\right) d x=\int_{1}^{8} \frac{f(\sqrt[3]{x})}{x} d x=6\) . Tính tích phân \(\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}} \frac{f\left(x^{2}\right)}{x} d x\)

Cho hai tích phân \(I=\int_{0}^{2} x^{3} d x, J=\int_{0}^{2} x d x\) .Tìm mối quan hệ giữa I và J
 

Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác 2 ?

Tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos x} d x\) có giá trị là:

Tính tích phân sau: \(\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \sin \;3x.\cos \;xdx\)

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn f(0) = 3 và \(f(x) + f(2 – x) = {x^2} – 2x + 2,\forall x \in \mathbb{R}\). Tích phân \(\int\limits_0^2 {xf'(x){\rm{d}}x} \) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ 0;1 \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=0\), \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x=7}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}f\left( x \right)\text{d}x=\frac{1}{3}}\). Tích  phân \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng

Biết \(\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x=a+b \sqrt{3}, \text { vói } a, b\) là các số hữu tỉ. Tính \(T=2 a+6 b\)

Tính diện tích giới hạn bởi các đường cong y = (e+1)x; y = (e^x + 1)x

Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(f(1)=\frac{1}{3} \text { và } f^{\prime}(x)=[x f(x)]^{2} \text { với mọi } x \in \mathbb{R}\). Giá trị f (2) bằng ?

Tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos x-1) \cos ^{2} x d x\) có giá trị là:

Cho hàm số f(x) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn \(f(0)=0\) và \(f^{\prime}(x)=2 x[1+f(x)], \forall x \in \mathbb{R}\) Giá trị của \(\int_{0}^{1} 2 x f(x) d x\) bằng?

Cho hàm số f(x) liên tục trên Rℝ và a là số dương. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_1^{\sqrt 3 } x\sqrt {1 + {x^2}} dx\) bằng

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :Trục tung, trục hoành và đồ thị hàm số : \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số\(y=\cos x\) , trục tung, trục hoành và đường thẳng \(x =\pi\) bằng

Cho tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_{\frac{1}{2}}^3 \frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {2x + 3} }}\). Đặt \(t = \sqrt {2x + 3} \) ta được \(I = \mathop \smallint \nolimits_2^3 \frac{m}{{{t^2} + n}}dt\) (với m, n ∈ Z). Tính T = 3m + n

Tích phân \(I=\int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{x^{2}-7 x+12} d x\) có giá trị bằng
 

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 1} \right){e^{2x}}\), trục tung và đường thẳng y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\) và \(\int\limits_0^2 {f\left( {3x + 1} \right){\rm{d}}x} = 6\). Tính \(I = \int\limits_0^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)

Cho tích phân \(I=\int_{0}^{4} \frac{\mathrm{d} x}{3+\sqrt{2 x+1}}=a+b \ln \frac{2}{3} \text { với } a, b \in \mathbb{Z}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?