Cho f(x) là hàm số chẵn liên tục trong đoạn \([-1 ; 1] \text { và } \int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x=2\). Kết quả \(I=\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{1+e^{x}} \mathrm{~d} x\) bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} I=\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=\int_{-1}^{0} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x+\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=I_{1}+I_{2} \\ \text { Xét } I_{1}=\int_{-1}^{0} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x \\ \text { Đặt } x=-t \Rightarrow \mathrm{d} x=-\mathrm{d} t, \text { đổi cận: } x=0 \Rightarrow t=0, x=-1 \Rightarrow t=1 \\ I_{1}=\int_{1}^{0} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{-t}}(-\mathrm{d} t)=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{t} \cdot f(x)}{1+\mathrm{e}^{t}} \mathrm{~d} t \\ \text { Lại có } \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{t} \cdot f(t)}{1+\mathrm{e}^{t}} \mathrm{~d} t=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{x} \cdot f(x)}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x \\ \text { Suy ra: } I=\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{t} \cdot f(t)}{1+\mathrm{e}^{t}} \mathrm{~d} t+\int_{0}^{1} \frac{f(t)}{1+\mathrm{e}^{t}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \frac{\left(1+\mathrm{e}^{t}\right) \cdot f(t)}{1+\mathrm{e}^{t}} \mathrm{~d} t=\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} f(t) \mathrm{d} t=1 \end{array}\)
