Tích phân \(I=\int_{1}^{2} \frac{a x+1}{x^{2}+3 x+2} d x=\frac{3}{5} \ln \frac{4}{3}+\frac{3}{5} \ln \frac{2}{3}\) . Giá trị của a là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(I=\int_{1}^{2} \frac{a x+1}{x^{2}+3 x+2} d x=a \int_{1}^{2} \frac{x}{x^{2}+3 x+2} d x+\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}+3 x+2} d x\)
Xét
\(\begin{array}{l} I_{1}=a \int_{1}^{2} \frac{x}{x^{2}+3 x+2} d x=a \int_{1}^{2}\left(\frac{2}{x+2}-\frac{1}{x+1}\right) d x=\left.a(2 \ln |x+2|-\ln |x+1|)\right|_{1} ^{2} \\ =a(2 \ln 4-3 \ln 3+\ln 2)=2 a \ln \frac{4}{3}+a \ln \frac{2}{3} \end{array}\)
\(I_{2}=\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}+3 x+2} d x=\left.(\ln |x+1|-\ln |x+2|)\right|_{1} ^{2}=-\ln \frac{4}{3}-\ln \frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow I=I_{1}+I_{2}=(2 a-1) \ln \frac{4}{3}+(a-1) \ln \frac{2}{3}\)
Theo đề bài ta có:
\(I=\frac{3}{5} \ln \frac{4}{3}+\frac{3}{5} \ln \frac{2}{3} \Rightarrow a=\frac{4}{5}\)
