Xét các số thực dương a, b thỏa mãn \(\log _{2}^{2} a-2 \log _{2} a+2+2\left(\log _{2} a-1\right) \sin \left(\log _{2} a+b\right)=0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTheo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l} \quad \log _{a}^{2} a-2 \log _{2} a+2+2\left(\log _{2} a-1\right) \sin \left(\log _{2} a+b\right)=0 \\ \Leftrightarrow\left(\log _{2} a-1\right)^{2}+1+2\left(\log _{2} a-1\right) \sin \left(\log _{2} a+b\right)=0 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow\left(\log _{2} a-1\right)^{2}+2\left(\log _{2} a-1\right) \sin \left(\log _{2} a+b\right)+\sin ^{2}\left(\log _{2} a+b\right)+\cos ^{2}(\log_2 a+b)=0\)
\(\Leftrightarrow \left(\log _{2} a-1+\sin \left(\log _{2} a+b\right)\right)^{2}+\cos ^{2}\left(\log _{2} a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \cos \left(\log _{2} a+b\right)=0 \\ \log _{2} a-1+\sin \left(\log _{2} a+b\right)=0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \log _{2} a+b=\frac{\pi}{2}+k \pi \\ \log _{2} a-1 \pm 1=0 \end{array}\right.\right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = \frac{\pi }{2} - 1 + k\pi \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a = 4\\ b = \frac{\pi }{2} - 2 + k\pi \end{array} \right. \end{array} \right.\)
TH1: Nếu \(a=1 \Rightarrow b \geq \frac{\pi}{2}-1 \Rightarrow S \geq \frac{3 \pi}{2}-1\)
TH2: Nếu \(a=4 \Rightarrow b \geq \frac{3 \pi}{2}-2 \Rightarrow S \geq \frac{9 \pi}{2}+2\)
