Tính \( M = \frac{{A_{n + 1}^4 + 3A_n^3}}{{(n + 1)!}}\) , biết \( C_{n + 1}^2 + 2C_{n + 2}^2 + 2C_{n + 3}^2 + C_{n + 4}^2 = 149\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} n \in N\\ n \ge 3 \end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} C_{n + 1}^2 + 2C_{n + 2}^2 + 2C_{n + 3}^2 + C_{n + 4}^2 = 149\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2!\left( {n - 1} \right)!}} + 2\frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{2!n!}} + 2\frac{{\left( {n + 3} \right)!}}{{2!\left( {n + 1} \right)!}} + \frac{{\left( {n + 4} \right)!}}{{2!\left( {n + 2} \right)!}} = 149\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)n}}{2} + \frac{{2\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}{2} + \frac{{2\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2} + \frac{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}}{2} = 149\\ \Leftrightarrow {n^2} + n + 2\left( {{n^2} + 3n + 2} \right) + 2\left( {{n^2} + 5n + 6} \right) + {n^2} + 7n + 12 = 298\\ \Leftrightarrow 6{n^2} + 24n - 270 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 5(tm)\\ n = - 9(l) \end{array} \right. \end{array}\)
Do đó: \( M = \frac{{A_6^4 + 3A_5^3}}{{6!}} = \frac{3}{4}\)
