Biết hệ số của số hạng chứa x² trong khai triển \((1+4n)x^n\) là 3040. Số tự nhiên n bằng bao nhiêu?

Cho đa giác đều có 2n cạnh \( {A_1}{A_2}...{A_{2n}}\) nội tiếp trong một đường tròn. Biết rằng tam giác có đỉnh lấy trong 2n điểm \( {A_1}...{A_{2n}}\) nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh lấy trong 2n điểm \( {A_1}{A_2}...{A_{2n}}\). Tìm n

Một đa giác lồi có 35 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đỉnh?

Giải phương trình với ẩn số nguyên dương n thỏa mãn \(A_{n}^{2}-3 C_{n}^{2}=15-5 n\)

Tính tổng \(S_{3}=C_{n}^{1}+2 C_{n}^{2}+\ldots+n C_{n}^{n}\)

Biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển \( {\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{\left( { - 1} \right)^k}{\left( {{x^2}} \right)^{n - k}}.{\left( {\frac{2}{x}} \right)^k}\) bằng 49. Khi đó hệ số của số hạng chứa x³ trong khai triển đó là

Tính \(S_{2}=C_{2011}^{0}+2^{2} C_{2011}^{2}+\ldots+2^{2010} C_{2011}^{2010}\)

Tìm \(n \in \mathbb{N}, \text { biết } C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7(n+3)\)

Trong khai triển\(\left(x+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{6}\) hệ số của \(x^{3},(x>0)\) là:

Tính tổng sau: \(S=\frac{1}{2} C_{n}^{0}-\frac{1}{4} C_{n}^{1}+\frac{1}{6} C_{n}^{3}-\frac{1}{8} C_{n}^{4}+\ldots+\frac{(-1)^{n}}{2(n+1)} C_{n}^{n}\)

Tính giá trị của tổng \(S=C_{6}^{0}+C_{6}^{1}+. .+C_{6}^{6}\) bằng:

Cho khai triển \( {\left( {1 - 2x} \right)^{20}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ....{a_{20}}{x^{20}}.\). Giá trị của \({a_0} - {a_1} + {a_2} - ....... + {a_{20}}\)

Cho nhị thức \(\left(2 x^{2}+\frac{1}{x^{3}}\right)^{n}\) , trong đó số nguyên dương n thỏa mãn \(A_{n}^{3}=72 n\) . Tìm số hạng chứa x⁵ trong khai triển.

Tìm hệ số của \(x^{31}\) trong khai triển \(\left(x+\frac{1}{x^{2}}\right)^{40}\)

Giải phương trình sau với ẩn \(n \in \mathbb{N}: C_{5}^{n-2}+C_{5}^{n-1}+C_{5}^{n}=25\)

Biết n là số nguyên dương thỏa mãn \(3 C_{n+1}^{3}-3 A_{n}^{2}=52(n-1)\) . Giá trị của n bằng:

Số hạng đứng giữa của khai triển \(\left(x^{3}+x y\right)^{30}\) là 

Nghiệm của phương trình \(A_{n}^{3}=20 n\) là

Tìm hệ số của x⁸ trong khai triển biểu thức sau: \(f(x)=\left(3 x^{2}+1\right)^{10}\)

Tìm hạng tử độc lập với x trong khai triển \(\left(\frac{x}{3}+\frac{3}{x}\right)^{12}\)

Trong khai triển \( {\left( {{2^x} + {2^{ - 2x}}} \right)^n}\), tổng hệ số của số hạng thứ hai và số hạng thứ ba là 36, số hạng thứ 3 lớn gấp 7 lần số hạng thứ hai. Tìm x?