Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của \( {\left( {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^{10}}\), biết \( C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n = {2^{20}} - 1\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\( C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^n + C_{2n + 1}^{n + 1} + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}\)
Vì
\(\begin{array}{l} C_{2n + 1}^k = C_{2n + 1}^{2n + 1 - k}\\ C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^n + C_{2n + 1}^n + C_{2n + 1}^{n - 1} + ... + C_{2n + 1}^0 = {2^{2n + 1}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^n} \right) = {2^{2n + 1}}\\ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^n = {2^{2n}}\\ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^n = {2^{2n}} - C_{2n + 1}^0 = {2^{2n}} - 1 \end{array}\)
Do đó \( {2^{2n}} - 1 = {2^{20}} - 1 \Leftrightarrow n = 10\)
Khi đó: \( {\left( {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^{10}} = {\left( {{x^{ - 4}} + {x^7}} \right)^{10}} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^{10} C_{10}^k{({x^{ - 4}})^{10 - k}}.{x^{7k}} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^{10} C_{10}^k{x^{11k - 40}}\)
Hệ số chứa x26 ứng với giá trị k: \( 11k−40=26⇒k=6\)
Vậy hệ số chứa x26 là: \( C_{10}^6 = 210\)
Đáp án cần chọn là: A
