Tính tổng \( S = \frac{1}{{2018}}{\left( {C_{2018}^1} \right)^2} + \frac{2}{{2017}}{\left( {C_{2018}^2} \right)^2} + ... + \frac{{2017}}{2}{\left( {C_{2018}^{2017}} \right)^2} + \frac{{2017}}{1}{\left( {C_{2018}^{2018}} \right)^2}\)

Ta có \( C_n^k = \frac{{n - k + 1}}{k}.C_n^{k - 1};\forall k \in N,n \in N,n \ge k\) nên:

\(\begin{array}{l} S = \frac{1}{{2018}}C_{2018}^1.C_{2018}^1 + \frac{2}{{2017}}C_{2018}^2.C_{2018}^2 + ... + \frac{{2017}}{2}C_{2018}^{2017}.C_{2018}^{2017} + \frac{{2018}}{1}C_{2018}^{2018}.C_{2018}^{2018}\\ S = \frac{1}{{2018}}C_{2018}^1.\frac{{2018}}{1}C_{2018}^0 + \frac{2}{{2017}}C_{2018}^2.\frac{{2017}}{2}C_{2018}^1 + ... + \frac{{2017}}{2}C_{2018}^{2017}.\frac{2}{{2017}}C_{2018}^{2016} + \frac{{2018}}{1}C_{2018}^{2018}.\frac{1}{{2018}}C_{2018}^{2017}\\ = C_{2018}^1.C_{2018}^0 + C_{2018}^2.C_{2018}^1 + ... + C_{2018}^{2017}.C_{2018}^{2016} + C_{2018}^{2018}.C_{2018}^{2017} \end{array}\)

Mà: 

\(\begin{array}{l} C_{2018}^k = C_{2018}^{2018 - k}\\ \to S = C_{2018}^1.C_{2018}^{2018} + C_{2018}^2.C_{2018}^{2017} + ... + C_{2018}^{2017}.C_{2018}^2 + C_{2018}^{2018}.C_{2018}^1 \end{array}\)

Mặt khác, ta có:

\(\begin{array}{l} {\left( {1 + x} \right)^{2018}} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^{2018} C_{2018}^k{x^k}\\ \Rightarrow {\left( {1 + x} \right)^{2018}}.{\left( {1 + x} \right)^{2018}} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^{2018} C_{2018}^k{x^k}.\mathop \sum \limits_{l = 0}^{2018} C_{2018}^l{x^l} = \mathop \sum \limits_{k,l = 0}^{2018} C_{2018}^k.C_{2018}^l.{x^{k + l}}(1) \end{array}\)

Suy ra hệ số của số hạng chưa x²⁰¹⁹ trong khai triển của (1) là: 

\( S = C_{2018}^1.C_{2018}^{2018} + C_{2018}^2.C_{2018}^{2017} + ... + C_{2018}^{2017}.C_{2018}^2 + C_{2018}^{2018}.C_{2018}^1\)

Lại do:

\(\begin{array}{l} {\left( {1 + x} \right)^{2018}}.{\left( {1 + x} \right)^{2018}} = {\left( {1 + x} \right)^{4036}}\\ {\left( {1 + x} \right)^{4036}} = \mathop \sum \limits_{n = 0}^{4036} C_{4036}^n{x^n} (2) \end{array}\)

Suy ra hệ số của số hạng chứa x²⁰¹⁹ trong khai triên của (2) là \( C_{4036}^{2019}\)

Vậy: 

\( S = C_{2018}^1.C_{2018}^{2018} + C_{2018}^2.C_{2018}^{2017} + ... + C_{2018}^{2017}.C_{2018}^2 + C_{2018}^{2018}.C_{2018}^1 = C_{4036}^{2019}\)

So sánh với các đáp án bằng máy tính bỏ túi ta được \( S = \frac{{2018}}{{2019}}C_{4036}^{2018}\)