Tính \(B=\frac{1}{A_{2}^{2}}+\frac{1}{A_{3}^{2}}+\ldots+\frac{1}{A_{n}^{2}}, \text { biết } C_{n}^{1}+2 \frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{1}}+\ldots+n \frac{C_{n}^{n}}{C_{n}^{n-1}}=45\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(C_{n}^{1}=n ; 2 \frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{1}}=2 \cdot \frac{\frac{n !}{2 ! \cdot(n-2) !}}{\frac{n !}{1 ! .(n-1) !}}=n-1 ; n \frac{C_{n}^{n}}{C_{n}^{n-1}}=\frac{1}{\frac{n !}{1 !(n-1) !}}=1\)
nên \(C_{n}^{1}+2 \frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{1}}+\ldots+n \frac{C_{n}^{n}}{C_{n}^{n-1}}=45 \Leftrightarrow \frac{n(n-1)}{2}=45 \Leftrightarrow n=10\)
Khi đó: \(\begin{array}{l} B=\frac{1}{A_{2}^{2}}+\frac{1}{A_{3}^{2}}+\ldots+\frac{1}{A_{n}^{2}}\\ =1 + \frac{1}{{3.2}} + \frac{1}{{4.3}} + \frac{1}{{5.4}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n - 1} \right)}}\\ = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + .... + \frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n}\\ = 1 - \frac{1}{n}\\ =\frac{9}{10} \end{array} \)
