Biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển \( {\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{\left( { - 1} \right)^k}{\left( {{x^2}} \right)^{n - k}}.{\left( {\frac{2}{x}} \right)^k}\) bằng 49. Khi đó hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển đó là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\( {\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{\left( { - 1} \right)^k}{\left( {{x^2}} \right)^{n - k}}.{\left( {\frac{2}{x}} \right)^k} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{\left( { - 1} \right)^k}{.2^k}.{x^{2n - 3k}}\)
Vì tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển bằng 49 nên \( C_n^0 - 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 = 49{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\)
Điều kiện \(n∈N^∗, n≥2\)
Khi đó (∗)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1 - 2n + {2^2}.\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 49 \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1 - 2n + 2{n^2} - 2n = 49 \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2{n^2} - 4n - 48 = 0\\ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = - 4(loai); \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = 6(nhan) \end{array}\)
Với n=6 ta có nhị thức \( {\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^6}\)
Số hạng tổng quát của khai triển là: \( \_6^k{\left( { - 1} \right)^k}{.2^k}.{x^{12 - 3k}}\left( {k \in ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0 \le k \le 6} \right)\)
Số hạng chứa x3 ứng với kk thỏa mãn 12−3k=3⇔k=3 (nhận).
Vậy hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển là \( C_6^3{\left( { - 1} \right)^3}{.2^3} = - 160\)
Đáp án cần chọn là: C
