Trong khai triển \( {\left( {{2^x} + {2^{ - 2x}}} \right)^n}\), tổng hệ số của số hạng thứ hai và số hạng thứ ba là 36, số hạng thứ 3 lớn gấp 7 lần số hạng thứ hai. Tìm x?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\( {\left( {{2^x} + {2^{ - 2x}}} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{\left( {{2^x}} \right)^{n - k}}.{\left( {{2^{ - 2x}}} \right)^k} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{\left( {{2^x}} \right)^{n - 3k}}\)
Số hạng thứ k+1 của khai triển là \( T_{k + 1}^{} = C_n^k{\left( {{2^x}} \right)^{n - 3k}}\)
Theo giả thiết ta có:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} C_n^1 + C_n^2 = 36(1)\\ C_n^2{\left( {{2^x}} \right)^{n - 6}} = 7C_n^1{\left( {{2^x}} \right)^{n - 3}}(2) \end{array} \right.\\ (1) \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{1!(n - 1)!}} + \frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 36\\ \Leftrightarrow n + \frac{{n(n - 1)}}{2} = 36 \Leftrightarrow {n^2} + n - 72 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 8\\ n = - 9 \end{array} \right. \end{array}\)
Thay n=8 vào
\( \left( 2 \right) \Leftrightarrow C_8^2{2^{2x}} = 7.C_8^1{.2^{5x}} \Leftrightarrow {2^{2x - 1}} = {2^{5x}} \Leftrightarrow 2x - 1 = 5x \Leftrightarrow x = - \frac{1}{3}\)
Chọn D.
Câu hỏi liên quan
-
Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức \((2x-3)^{2020}\)
-
Trong khai triển \((0,2+0,8)^{5}\) số hạng thứ tư là:
-
Tìm số hạng chứa x7 trong khai triển \( {\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^{13}}\)
-
Tìm hệ số của x25y10 trong khai triển \(\left(x^{3}+x y\right)^{15}\)
-
Số hạng thứ 12 trong khai triển của (2−x)15. Các số hạng được sắp xếp theo thứ tự lũy thừa tăng dần của x.
-
Cho nhị thức \(\left(2 x^{2}+\frac{1}{x^{3}}\right)^{n}\) , trong đó số nguyên dương n thỏa mãn \(A_{n}^{3}=72 n\) . Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển.
-
Hệ số của \(x^{12} y^{13}\) trong khai triển \((2 x-3 y)^{25}\) là
-
Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của \(\left(\frac{1}{x^{4}}+x^{7}\right)^{n}\), biết \(C_{2 n+1}^{1}+C_{2 n+1}^{2}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}=2^{20}-1\)
-
Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \((3-2x)^{2021}\)có bao nhiêu số hạng?
-
Tìm số hạng chứa x7 trong khai triển \(\left(x-\frac{1}{x}\right)^{13}\)
-
Tìm số tự nhiên thỏa \(A_{n}^{2}=210\)
-
Trong khai triển của \( (x+a)^3(x−b)^6\), hệ số của x7 là −9 và không có số hạng chứa x8. Có mấy cặp giá trị của a và b
-
Tìm hệ số của \(x^{31}\) trong khai triển \(\left(x+\frac{1}{x^{2}}\right)^{40}\)
-
Tìm hạng tử chứa \(x^{2}\) trong khai triển \(\left(\sqrt[3]{x^{-2}}+x\right)^{7}\)
-
Số hạng đứng giữa của khai triển là \(\left(x^{3}-x y\right)^{14}\)
-
Nghiệm của phương trình \(A_{x}^{10}+A_{x}^{9}=9 A_{x}^{8}\) là
-
Tìm số nguyên dương n sao cho: \(A_{n}^{6}=10 A_{n}^{5}\)
-
Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của \(\left(\frac{1}{x^{3}}+\sqrt{x^{5}}\right)^{n}\) biết
\(C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7(n+3)\) -
Kết quả nào sau đây sai
-
Tính \(B=\frac{1}{A_{2}^{2}}+\frac{1}{A_{3}^{2}}+\ldots+\frac{1}{A_{n}^{2}}, \text { biết } C_{n}^{1}+2 \frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{1}}+\ldots+n \frac{C_{n}^{n}}{C_{n}^{n-1}}=45\)
