Tính diện tích một tam giác vuông có chu vi 72cm, hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \( AM = x{\mkern 1mu} \left( {x > 0;cm} \right) \Rightarrow BC = 2x{\mkern 1mu} \left( {cm} \right);AH = x - 7{\mkern 1mu} \left( {cm} \right)\)
Vì chu vi tam giác ABC là 72cm nên
\( AB + AC + BC = 72 \Rightarrow AB + AC = 72 - 2x{\mkern 1mu} \left( {cm} \right)\)
Theo các hệ thức trong tam giác vuông:
\( A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} = 4{x^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right);AB.AC = BC.AH = 2x\left( {x - 7} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)\)
Từ (1);(2) suy ra
\(\begin{array}{l} A{B^2} + A{C^2} + 2AB.AC = 4{x^2} + 4x\left( {x - 7} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {AB + AC} \right)^2} = 8{x^2} - 28x \Leftrightarrow {\left( {72 - 2x} \right)^2} = 8{x^2} - 28x \end{array}\)
Đưa về phương trình
\(\begin{array}{l} {x^2} + 65x - 1296 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 16} \right)\left( {x + 81} \right) = 0\\ \to \left[ \begin{array}{l} x = 16(n)\\ x = - 81(l) \end{array} \right. \end{array}\)
Từ đó \(\begin{array}{l} BC = 32{\mkern 1mu} cm;{\mkern 1mu} AH = 9{\mkern 1mu} cm.\\ \to {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.32.9 = 144{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {c{m^2}} \right) \end{array}\)