Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \( 2 \sin \left(4 x-\frac{\pi}{3}\right)-1=0\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Ta có } 2 \sin \left(4 x-\frac{\pi}{3}\right)-1=0 \Leftrightarrow \sin \left(4 x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left(4 x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin \frac{\pi}{6}\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l }
{ 4 x - \frac { \pi } { 3 } = \frac { \pi } { 6 } + k 2 \pi } \\
{ 4 x - \frac { \pi } { 3 } = \pi - \frac { \pi } { 6 } + k 2 \pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array} { l }
{ 4 x = \frac { \pi } { 2 } + k 2 \pi } \\
{ 4 x = \frac { 7 \pi } { 6 } + k 2 \pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x=\frac{\pi}{8}+\frac{k \pi}{2} \\
x=\frac{7 \pi}{24}+\frac{k \pi}{2}
\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.\right.\)
TH1. Với \(x=\frac{\pi}{8}+\frac{k \pi}{2} {\longrightarrow} \frac{\pi}{8}+\frac{k \pi}{2}>0 \Leftrightarrow k>-\frac{1}{4} \rightarrow k_{\min }=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}\)
TH2. Với \(x=\frac{7 \pi}{24}+\frac{k \pi}{2} :{\mathrm{Cho}}\,\,x>0{\longrightarrow} \frac{7 \pi}{24}+\frac{k \pi}{2}>0 \Leftrightarrow k>-\frac{7}{12} \rightarrow k_{\min }=0 \Rightarrow x=\frac{7 \pi}{24}\)
So sánh nhận thấy \(x=\frac{\pi}{8}\) là nghiệm nhỏ nhất.
