Nghiệm của phương trình \(2{\tan}^2 x+3\tan x+2{\cot}^2 x+3\cot x+2=0\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐKXĐ: \(\cos\ne0\) và \(\sin x\ne0\).
Ta có: \(2{\tan}^2 x+3\tan x+\)
\(2{\cot}^2 x+3\cot x+2=0\)
\(\Leftrightarrow (2{\tan}^2 x+2{\cot}^2 x)\)
\(+(3\tan x+3\cot x)+2=0\)
\(\Leftrightarrow 2[{(\tan x+\cot x)}^2-2\tan x\cot x]+\)
\(3(\tan x+\cot x)+2=0\)
\(\Leftrightarrow 2[{(\tan x+\cot x)}^2-2]+\)
\(3(\tan x+\cot x)+2=0\)
Đặt \(\tan x+\cot x=t\) ta được phương trình \(2t^2+3t-2=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-2\\t=\dfrac{1}{2}\end{array} \right. \)
Với \(t=-2\) ta có \(\tan x+\cot x=-2\)
\(\Rightarrow \tan x+\dfrac{1}{\tan x}=-2\)
\(\Rightarrow {\tan}^2 x+1=-2\tan x\)
\(\Rightarrow \tan x=-1\)
\(\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)}\)
Với \(t=\dfrac{1}{2}\) ta có \(\tan x+\cot x=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \tan x+\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2{\tan}^2 x+2=\tan x\text{(Vô nghiệm)}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \( x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\).
