Phương trình \(2 \sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x}\) có nghiệm là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x \geq 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} 2 \sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x} \Leftrightarrow 4 \sin ^{2}\left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x \\ \Leftrightarrow 2\left[1-\cos \left(6 x+\frac{\pi}{2}\right)\right]=1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x \Leftrightarrow 8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x-2 \sin 6 x-1=0 \\ \Leftrightarrow 8 \sin 2 x\left(1-\sin ^{2} 2 x\right)-2\left(3 \sin 2 x-4 \sin ^{3} 2 x\right)-1=0 \Leftrightarrow 2 \sin 2 x-1=0 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow \sin 2 x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{12}+k \pi \\ x=\frac{5 \pi}{12}+k \pi \end{array}, k \in \mathbb{Z}\right.\)
thử lại với điều kiện ta thấy \(\left[\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{12}+k \pi \\ x=\frac{5 \pi}{12}+k \pi \end{array}, k \in \mathbb{Z}\right.\) đều thỏa.
