Cho phương trình \(\sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(x+\frac{3 \pi}{4}\right)\). Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng \((0;\pi)\) của phương trình trên.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } \sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(x+\frac{3 \pi}{4}\right) \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { 2 x - \frac { \pi } { 4 } = x + \frac { 3 \pi } { 4 } + k 2 \pi } \\ { 2 x - \frac { \pi } { 4 } = \pi - x - \frac { 3 \pi } { 4 } + k 2 \pi } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\pi+k 2 \pi \\ x=\frac{\pi}{6}+k \frac{2 \pi}{3} \end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right. \text {. }\\ &+\text { Xét } x=\pi+k 2 \pi(k \in \mathbb{Z}) \text {. }\\ &\text { Do } 0<x<\pi \Leftrightarrow 0<\pi+k 2 \pi<\pi \Leftrightarrow-\frac{1}{2}<k<0 \text {. Vì } k \in \mathbb{Z} \text { nên không có giá trị } k \text {. } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &+\text { Xét } x=\frac{\pi}{6}+k \frac{2 \pi}{3}(k \in \mathbb{Z}) \text {. }\\ &\text { Do } 0<x<\pi \Leftrightarrow 0<\frac{\pi}{6}+k \frac{2 \pi}{3}<\pi \Leftrightarrow-\frac{1}{4}<k<\frac{5}{4} \text {. Vì } k \in \mathbb{Z} \text { nên có hai giá trị } k \text { là: }k=0 ; k=1 \text {. } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Với } k=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6} \text {. } \\ &\text { Với } k=1 \Rightarrow x=\frac{5 \pi}{6} \text {. } \end{aligned}\)
Do đó trên khoảng \((0;\pi)\) phương trình đã cho có hai nghiệm \(x=\frac{\pi}{6}\, và \,x=\frac{5 \pi}{6}\)
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng \((0;\pi)\) là: \(\frac{\pi}{6}+\frac{5 \pi}{6}=\pi\)
