Phương trình \(8 \cos x=\frac{\sqrt{3}}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}\) có nghiệm là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(\sin x \cdot \cos x \neq 0 \Leftrightarrow \sin 2 x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{m \pi}{2}, m \in \mathbb{Z}(1)\)
Phương trình đã cho tương đương:
\(\begin{array}{l} 8 \cos x=\frac{\sqrt{3} \cos x+\sin x}{\frac{1}{2} \sin 2 x} \Leftrightarrow 4 \sin 2 x \cdot \cos x=\sqrt{3} \cos x+\sin x \\ \Leftrightarrow 2(\sin x+\sin 3 x)=\sqrt{3} \cos x+\sin x \Leftrightarrow 2 \sin 3 x=\sqrt{3} \cos x-\sin x \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin 3 x=\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x-\frac{1}{2} \sin x \Leftrightarrow \sin 3 x=\sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos x-\cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin x \\ \Leftrightarrow \sin 3 x=\sin \left(\frac{\pi}{3}-x\right) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c} 3 x=\frac{\pi}{3}-x+k 2 \pi \\ 3 x=\pi-\frac{\pi}{3}+x+k 2 \pi \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c} x=\frac{\pi}{12}+\frac{k \pi}{2} \\ x=\frac{\pi}{3}+k \pi \end{array}\right.\right. \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện (1), nghiệm của phương trình là \(x=\frac{\pi}{12}+\frac{k \pi}{2} ; x=\frac{\pi}{3}+k \pi(k \in \mathbb{Z})\)
