Phương trình \({\sin}^6 x+{\cos}^6 x=4{\cos}^2 2x\) có nghiệm là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \({\sin}^6 x+{\cos}^6 x=4{\cos}^2 2x\)
\(\Leftrightarrow {({\sin}^2 x+{\cos}^2 x)}^3-\)
\(3{\sin}^2 x{\cos}^2 x({\sin}^2 x+{\cos}^2 x)\)
\(=4{\cos}^2 2x\)
\(\Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}{\sin}^2 2x=4{\cos}^2 2x\)
\(\Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}(1-{\cos}^2 2x)=4{\cos}^2 2x\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{13}{4}{\cos}^2 2x=\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow 13{\left({\dfrac{1+\cos 4x}{2}}\right)}=1\)
\(\Leftrightarrow 1+\cos 4x=\dfrac{2}{13}\)
\(\Leftrightarrow \cos 4x=-\dfrac{11}{13}\)
\(\Leftrightarrow 4x=\pm\arccos {\left({-\dfrac{11}{13}}\right)}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{1}{4}\arccos {\left({-\dfrac{11}{13}}\right)}+k\dfrac{\pi}{2} ,k\in\mathbb{Z}\).
