Phương trình \(\cos x+\sin x=\frac{\cos 2 x}{1-\sin 2 x}\) có nghiệm là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(1-\sin 2 x \neq 0 \Leftrightarrow 2 x \neq \frac{\pi}{2}+k 2 \pi \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{4}+k \pi(k \in \mathbb{Z})\)
\(\begin{array}{l} \cos x+\sin x=\frac{\cos 2 x}{1-\sin 2 x} \Leftrightarrow(\cos x+\sin x)(1-\sin 2 x)=\cos 2 x \\ \Leftrightarrow(\cos x+\sin x)\left(\cos ^{2} x-2 \cos x \sin x+\sin ^{2} x\right)=\cos 2 x \\ \Leftrightarrow(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)^{2}=\cos 2 x \Leftrightarrow \cos 2 x \cdot(\cos x-\sin x)-\cos 2 x=0 \\ \Leftrightarrow \cos 2 x(\cos x-\sin x-1)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \cos 2 x=0 \\ \sqrt{2} \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c} 2 x=\frac{\pi}{2}+k \pi \\ x+\frac{\pi}{4}=\pm \frac{\pi}{4}+k 2 \pi \end{array}\right.\right. \end{array}\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2} \\ x=k 2 \pi \\ x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\frac{3 \pi}{4}+k \pi \\ x=k 2 \pi \\ x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \end{array}\right.\right.\)
