Các nghiệm của phương trình \(\tan x+\cot x=2 \sin 2 x+\cos 2 x\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(\left\{\begin{array}{l} \sin x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow x \neq k \frac{\pi}{2}(k \in \mathbb{Z})\right.\)
Khi đó
\(\tan x+\cot x=2 \sin 2 x+\cos 2 x\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=2 \sin 2 x+\cos 2 x\)
\(\begin{aligned} &\Leftrightarrow \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=2 \sin x \cos x \sin 2 x+\sin x \cos x \cos 2 x\\ &\Leftrightarrow 1=\sin ^{2} 2 x+\frac{1}{2} \sin 2 x \cos 2 x\,\,(*)( \text { đây là phương trình bậc 2) } \end{aligned}\)
Chia 2 vế cho \(\sin ^{2} 2 x \neq 0\) (do điều kiện) ta được:
\((*)\Leftrightarrow \frac{1}{\sin ^{2} 2 x}=1+\frac{1}{2} \cot 2 x\)
\(\Leftrightarrow 1+\cot ^{2} 2 x=1+\frac{1}{2} \cot 2 x \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \cot 2 x=0 \\ \cot 2 x=\frac{1}{2} \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} 2 x=\frac{\pi}{2}+k \pi \\ 2 x=\operatorname{arccot} \frac{1}{2}+k \pi \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{4}+k \frac{\pi}{2} \\ x=\frac{1}{2} \operatorname{arccot} \frac{1}{2}+k \frac{\pi}{2} \end{array}(k \in \mathbb{Z})(\mathrm{TMĐK})\right.\right.\)
