Nghiệm của phương trình \(8{\cos}^4 x-4\cos 2x+\sin 4x-4=0\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(8{\cos}^4 x-4\cos 2x+\sin 4x-4=0\)
\(\Leftrightarrow 8{\left({\dfrac{1+\cos 2x}{2}}\right)}^2\)
\(-4\cos 2x+\sin 4x-4=0\)
\(\Leftrightarrow 2(1+2\cos 2x+{\cos}^2 2x)\)
\(-4\cos 2x+\sin 4x-4=0\)
\(\Leftrightarrow 2{\cos}^2 2x+\sin 4x-2=0\)
\(\Leftrightarrow 1+\cos 4x+\sin 4x-2=0\)
\(\Leftrightarrow \cos 4x+\sin 4x=1\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos 4x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin 4x=\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(\Leftrightarrow \sin\dfrac{\pi}{4}\cos 4x+\cos\dfrac{\pi}{4}\sin 4x=\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(\Leftrightarrow \sin{\left({4x+\dfrac{\pi}{4}}\right)}=\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x+\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\4x+\dfrac{\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{2},k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=k\dfrac{\pi}{2},k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\).
