Gọi (S ) là tập hợp các nghiệm thuộc khoảng \((0; 100 \pi)\) của phương trình\( {\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 3\). Tổng các phần tử của (S ) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{array}{l} {\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 3 \Leftrightarrow 1 + \sin x + \sqrt 3 \cos x = 3\\ \Leftrightarrow \sin x + \sqrt 3 \cos x = 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \end{array}\)
Theo đề bài cho ta có
\( 0 < x < 100\pi \Leftrightarrow 0 < \frac{\pi }{6} + k2\pi < 100\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} < k < \frac{{599}}{{12}}\)
Mà \( k \in Z \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3;4,....;48;49} \right\}\)
Vậy
\(\begin{array}{l} S = \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{6} + 2\pi + \frac{\pi }{6} + 2 \times 2\pi + ...... + \frac{\pi }{6} + 49 \times 2\pi \\ = \frac{{50\pi }}{6} + 2\pi \left( {1 + 2 + 3 + 4 + ..... + 49} \right) = \frac{{50\pi }}{6} + 2\pi \frac{{49\left( {49 + 1} \right)}}{2} = \frac{{7375\pi }}{3} \end{array}\)
