\(\text { Tìm số nghiệm } x \in\left[-\frac{3 \pi}{2} ;-\frac{\pi}{2}\right) \text { của phương trình } \sqrt{3} \sin x=\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-2 x\right) \text { ? }\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{aligned} &\sqrt{3} \sin x=\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-2 x\right) \Leftrightarrow \sqrt{3} \sin x+\sin 2 x=0 \Leftrightarrow \sqrt{3} \sin x+2 \sin x \cos x=0 \\ &\Leftrightarrow \sin x(\sqrt{3}+2 \cos x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { \sin x = 0 } \\ { \cos x = \cos ( \frac { 5 \pi } { 6 } ) } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=k \pi \\ x=\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi \\ x=-\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi \end{array}, k \in \mathbb{Z} .\right.\right. \end{aligned}\)
Ta có
\(\begin{gathered} x=k \pi \in\left[-\frac{3 \pi}{2} ;-\frac{\pi}{2}\right) \Leftrightarrow-\frac{3 \pi}{2} \leq k \pi<-\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow-\frac{3}{2} \leq k<-\frac{1}{2} \Leftrightarrow k=-1(\text { do } k \in \mathbb{Z}) . \\ \begin{array}{c} x=\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi \in\left[-\frac{3 \pi}{2} ;-\frac{\pi}{2}\right) \Leftrightarrow-\frac{3 \pi}{2} \leq \frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi<-\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow-\frac{14}{12} \leq k<-\frac{8}{12} \Leftrightarrow k \\ =-1(d o k \in \mathbb{Z}) \end{array} \end{gathered}\)
\(\begin{gathered} x=-\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi \in\left[-\frac{3 \pi}{2} ;-\frac{\pi}{2}\right) \Leftrightarrow-\frac{3 \pi}{2} \leq-\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi<-\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow-\frac{4}{12} \leq k<\frac{2}{12} \Leftrightarrow k \\ =0(\text { do } k \in \mathbb{Z}) . \end{gathered}\)
\(\text { Vậy phương trình } \sqrt{3} \sin x=\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-2 x\right) \text { có } 3 \text { nghiệm } x \in\left[-\frac{3 \pi}{2} ;-\frac{\pi}{2}\right) \text {. }\)
