Cho phương trình:\(\left(\sin x+\frac{\sin 3 x+\cos 3 x}{1+2 \sin 2 x}\right)=\frac{3+\cos 2 x}{5}\). Các nghiệm của phương trình thuộc khoảng \((0 ; 2 \pi\)là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(1+2 \sin 2 x \neq 0\)
Khi đó:
\(\left(\sin x+\frac{\sin 3 x+\cos 3 x}{1+2 \sin 2 x}\right)=\frac{3+\cos 2 x}{5}\)
\(\Leftrightarrow 5\left(\frac{\sin x+2 \sin x \sin 2 x+\sin 3 x+\cos 3 x}{1+2 \sin 2 x}\right)=3+\cos 2 x\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 5\left(\frac{\sin x+\cos x-\cos 3 x+\sin 3 x+\cos 3 x}{1+2 \sin 2 x}\right)=3+\cos 2 x \\
\Leftrightarrow 5\left(\frac{(1+2 \sin 2 x) \cos x}{1+2 \sin 2 x}\right)=3+\cos 2 x \\
\Leftrightarrow 5 \cos x=3+\cos 2 x \quad \Leftrightarrow 2 \cos ^{2} x-5 \cos x-2=0 \\
\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}
\cos x=\frac{1}{2}\\
\cos x=2(\operatorname{loai})
\end{array}\right.
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+k \pi \\\)
Vì \(x \in(0 ; 2 \pi) \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}, x=\frac{5 \pi}{3}\)(thỏa điều kiện)
