Phương trình \(1+\sin x-\cos x-\sin 2 x=0\) có bao nhiêu nghiệm trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right) ?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}t=\sin x-\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right) ,\,\, t \in[-\sqrt{2} ; \sqrt{2}]\)
\(t^{2}=\sin ^{2} x+\cos ^{2} x-2 \sin x \cos x=1-\sin 2 x \Rightarrow \sin 2 x=1-t^{2}\)
Khi đó phương trình trở thành:
\(1+t-\left(1-t^{2}\right)=0 \Leftrightarrow t^{2}+t=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=0 \\ t=-1 \end{array}(\mathrm{TMĐK})\right.\)
Với \(t=0 \Rightarrow \sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \Leftrightarrow x-\frac{\pi}{4}=k \pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k \pi(k \in \mathbb{Z})\)
Với \(t=-1 \Rightarrow \sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-1 \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c} x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+k 2 \pi \\ x-\frac{\pi}{4}=\frac{5 \pi}{4}+k 2 \pi \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=k 2 \pi \\ x=\frac{3 \pi}{2}+k 2 \pi \end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.\)
phương trình có hai nghiệm thuộc \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right) \text { là } x=0 \text { và } x=\frac{\pi}{4}\)
