Tìm hệ số của số hạng chứa x6 trong khai triển của biểu thức \( {\left( {x - 4{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^n}\) với x≥0 và biết rằng \(C_n^0 + 3C_n^1 + {3^2}C_n^2 + ... + {3^n} = 65536\) với n∈N.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+) Xét:
\( {\left( {x + 3} \right)^n} = C_n^0.{x^n}{.3^0} + C_n^1.{x^{n - 1}}{.3^1} + ... + C_n^n.{x^0}{.3^n}\)
+)Thay x=1
\(\Leftrightarrow {\left( {1 + 3} \right)^n} = C_n^0 + 3C_n^1 + ... + {3^n} \Leftrightarrow {4^n} = 65536 \Leftrightarrow {4^n} = {4^8} \Leftrightarrow n = 8\)
⇒ Biều thức là \( {\left( {x - 4.{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^8}\)
+) Số hạng tổng quát của biểu thức \( {\left( {x - 4.{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^8}\)
\( {T_{k + 1}} = C_8^k.{x^{8 - k}}.{\left( { - 4{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^k} = C_8^k.{x^{8 - k}}.{\left( { - 4} \right)^k}.{x^{\frac{1}{2}k}} = C_8^k{\left( { - 4} \right)^k}.{x^{8 - \frac{1}{2}k}}\)
Số hạng chứa x6 \( \Rightarrow {x^{8 - \frac{1}{2}k}} = {x^6} \Leftrightarrow 8 - \frac{1}{2}k = 6 \Leftrightarrow \frac{1}{2}k = 2 \Leftrightarrow k = 4\)
⇒ Hệ số của số hạng chứa x6 là: \( C_8^4.{\left( { - 4} \right)^4} = 17920\)
Chọn A.
