Số họ nghiệm của phương trình \(\frac{2\left(\cos ^{4} x-\sin ^{4} x\right)+1}{2 \cos \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)}=\sqrt{3} \cos x+\sin x\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Đk: } x \neq \frac{5 \pi}{3}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} . \text { Khi đó }\)
\(\begin{aligned} \operatorname{Pt} & \Leftrightarrow 2 \cos ^{2} x-2 \sin ^{2} x+1=2 \cos \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)(\sqrt{3} \cos x+\sin x) \\ & \Leftrightarrow 3 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x=2 \cos \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)(\sqrt{3} \cos x+\sin x) \\ & \Leftrightarrow(\sqrt{3} \cos x+\sin x)(\sqrt{3} \cos x-\sin x)=2 \cos \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)(\sqrt{3} \cos x+\sin x) \\ & \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \sqrt{3} \cos x+\sin x=0 \\ \sqrt{3} \cos x-\sin x=2 \cos \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right) \end{array}\right)\left[\begin{array}{l} \cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0 \\ \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right) \end{array}\right. \end{aligned}\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\frac{2 \pi}{3}+k \pi \\ x=-\pi+k 4 \pi \quad(k \in \mathbb{Z}) \\ x=\frac{\pi}{9}+k \frac{4 \pi}{3} \end{array}\right.\)
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
