Phương trình \(\cot x-\cot 2x=\tan x+1\) có nghiệm là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐKXĐ:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\sin x \ne 0\\
\sin 2x \ne 0\\
\cos x \ne 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \) \(\Leftrightarrow 2x \ne k\pi \) \(\Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\)
Ta có: \(\cot x-\cot 2x=\tan x+1\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}+1\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\cos 2x}{2\sin x\cos x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}+1\)
\(\Rightarrow 2{\cos }^2 x-\cos 2x=2{\sin}^2 x+\sin 2x\)
\(\Leftrightarrow 2({\cos}^2 x-{\sin}^2 x)-\cos 2x=\sin 2x\)
\(\Leftrightarrow 2\cos 2x-\cos 2x=\sin 2x\)
\(\Leftrightarrow \cos 2x=\sin 2x\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \tan 2x = 1\\
\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2},k\in\mathbb{Z}
\end{array}\)
Các giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.
