Gọi \(x_0\) là nghiệm dương nhỏ nhất của \(\cos 2 x+\sqrt{3} \sin 2 x+\sqrt{3} \sin x-\cos x=2\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\cos 2 x+\sqrt{3} \sin 2 x+\sqrt{3} \sin x-\cos x=2\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cos 2 x+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x-\frac{1}{2} \cos x=1\)
\(\Leftrightarrow \sin \left(\frac{\pi}{6}+2 x\right)+\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1\)
Đặt \(t=x-\frac{\pi}{6} \Rightarrow x=t+\frac{\pi}{6} \Rightarrow 2 x=2 t+\frac{\pi}{3} \Rightarrow 2 x+\frac{\pi}{6}=2 t+\frac{\pi}{2}\)
\(PT\Leftrightarrow \sin \left(2 t+\frac{\pi}{2}\right)+\sin t=1 \Leftrightarrow \cos 2 t+\sin t=1\)
\(\Leftrightarrow 2 \sin ^{2} t-\sin t=0 \Leftrightarrow \sin t(2 \sin t-1)=0\)
\(\sin t=0 \Leftrightarrow t=k \pi \longrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k \pi>0 \Leftrightarrow k>-\frac{1}{6} \Rightarrow k_{\min }=0 \rightarrow x=\frac{\pi}{6}\)(do k nguyên).
\(\sin t=\frac{1}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+k 2 \pi>0 \Leftrightarrow k>-\frac{1}{6} \Rightarrow k_{\min }=0 \rightarrow x=\frac{\pi}{3} \\ t=\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi \Rightarrow x=\pi+k 2 \pi>0 \Leftrightarrow k>-\frac{1}{2} \Rightarrow k_{\min }=0 \rightarrow x=\pi \end{array}\right.\)
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(x=\frac{\pi}{6} \in\left[\frac{\pi}{12} ; \frac{\pi}{6}\right]\)
