Giải phương trình \(\sin 4 x+4 \sin \left(\frac{5 \pi}{2}+2 x\right)=4(\sin x+\cos x)\) ta được số họ nghiệm là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} \operatorname{Pt}\Leftrightarrow & 2 \sin 2 x \cos 2 x+4 \cos 2 x-4(\sin x+\cos x)=0 \\ \Leftrightarrow & 2 \sin 2 x\left(\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)+4\left(\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)-4(\sin x+\cos x)=0 \\ & \Leftrightarrow 4 \sin x \cos x(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)+4(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x) \\ &-4(\sin x+\cos x)=0 \\ \Leftrightarrow &(\sin x+\cos x)(\sin x \cos x(\cos x-\sin x)+\cos x-\sin x-1)=0 \\ \Leftrightarrow &\left[\begin{array}{ll} \sin x+\cos x=0 (1)\\ \sin x \cos x(\cos x-\sin x)+\cos x-\sin x-1=0 & (2) \\ \end{array}\right. \end{aligned}\)
\(\text { Giải }(1): \sin x+\cos x=0 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\)
\(\text { Giải }(2): \text { Đặt } t=\cos x-\sin x=\sqrt{2} \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right),-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} \text { . }\)
Phương trình (2) trở thành:
\(\begin{aligned} &\frac{1-t^{2}}{2} t+t-1=0 \Leftrightarrow t^{3}-3 t+2=0 \Leftrightarrow t=1 \\ &\text { Với } t=1 \Rightarrow \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=k 2 \pi \\ x=-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \end{array}(k \in \mathbb{Z})\right. \end{aligned}\)
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
