Cho đường tròn tâm (O ) bán kính (R ) và điểm (M ) thỏa mãn (MO = 3R ). Một đường kính (AB ) thay đổi trên đường tròn. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức (S = MA + MB ).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \( \widehat {MOA} = \alpha \Rightarrow \widehat {MOB} = {180^ \circ } - \alpha \)
Ta có
\(\begin{array}{l} MA = \sqrt {M{O^2} + A{O^2} - 2MO.AO.\cos \alpha } = \sqrt {9{R^2} + {R^2} - 6{R^2}\cos \alpha } = R\sqrt {10 - 6\cos \alpha } \\ MB = \sqrt {M{O^2} + B{O^2} - 2MO.BO.\cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right)} = \sqrt {9{R^2} + {R^2} + 6{R^2}\cos \alpha } = R\sqrt {10 + 6\cos \alpha } \end{array}\)
Xét
\(\begin{array}{l} C = \sqrt {10 - 6\cos \alpha } + \sqrt {10 + 6\cos \alpha } \\ \Rightarrow {C^2} = 20 + 2\sqrt {100 - 36{{\cos }^2}\alpha } \ge 20 + 2\sqrt {100 - 36} = 36 \end{array}\)
Suy ra C≥6. Dấu xẩy ra khi \(co{s^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos \alpha = 1\\ cos\alpha = - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \alpha = {0^0}\\ \alpha = {180^0} \end{array} \right.\)
Ta có \( S = MA + MB = R\left( {\sqrt {10 - 6\cos \alpha } + \sqrt {10 + 6\cos \alpha } } \right) \ge 6R\)
Suy ra minS=6R khi và chỉ khỉ A, O, B, M thẳng hàng.
Đáp án cần chọn là: A