Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC. Tính \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {MA}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\), \(\overrightarrow {HM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} )\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {HM} = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} } \right)\)
\( = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB} + \underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} }_{ = 0} + \underbrace {\overrightarrow {AC} \overrightarrow {.HB} }_{ = 0} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC} } \right)\)
\( = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC} )\)
\( = \dfrac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {HC} + \overrightarrow {CB} ) + \overrightarrow {AC} .(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {BC} )} \right]\)
\( = \dfrac{1}{4}\left[ {\underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} }_0 + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} + \underbrace {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HB} }_0 + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} } \right]\)
\( = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} } \right)\)\( = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} } \right)\)
\( = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {CB} .\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CB} = \dfrac{1}{4}{\overrightarrow {CB} ^2} = \dfrac{1}{4}{\overrightarrow {BC} ^2}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=a, BC=2a. Tích vô hướng \( \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \) bằng
-
Cho \(M, N, P, Q\) à bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
-
Tam giác đều cạnh a nội tiếp đường tròn bán kính R. Bán kính R bằng
-
Tam giác ABC có \(a=21, b=17, c=10\) . Gọi B' là hình chiếu vuông góc của B trên cạnh AC . Tính BB' .
-
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có \(A(1;2),B( - 3;1)\) và trực tâm \(H( - 2;3)\). Hãy tìm tọa độ đỉnh C.
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=5: B C= 7 ; C A=9. \text{ Tính số đo của } \hat{A }\)
-
Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc 600 . Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? Kết quả gần nhất với số nào sau đây?
-
Tam giác ABC có \(\widehat A = {60^0},b = 20,c = 35\). Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=11 ; B C= 9; C A=6. \text{ Tính độ dài trung tuyến AM.}\)
-
Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R=4cm có diện tích là
-
Cho tam giác ABC đều cạnh 3a. Lấy M;N;P lần lượt nằm trên ba cạnh BC;CA;AB sao cho \(B M=a, C N=2 a, A P=x(x>0)\). \(\text { Phân tích } \overrightarrow{A M} \text { theo } 2 \text { vec-tơ } \overrightarrow{A B} \text { và } \overrightarrow{A C} \text { . }\)
-
Tính giá trị biểu thức \(\sin 30^{\circ} \cos 60^{\circ}+\sin 60^{\circ} \cos 30^{\circ}\)
-
Cho biết \(\sin \alpha+\cos \alpha=a\) Tính giá trị của \(\sin \alpha \cos \alpha\)
-
Cho tam giác \(ABC\) biết \(a = 7cm,b = 23cm,\widehat C = {130^0}\). Tính góc A.
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=5 ; B C= 7; C A=8. \text{ Tính độ dài đường cao CF?}\)
-
Tam giác ABC có \(A B=5, B C=7, C A=8\) . Số đo góc A bằng:
-
\(\text{Tam giác ABC có A B=5 ; B C= 7; C A=8}. \text{ Tính độ dài đường cao BD ?}\)
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=5: B C= 7 ; C A=9. \text{ Tính độ dài đường cao BD?}\)
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=11 ; B C= 9; C A=6. \text{ Tính số đo của } \hat{C}\)
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=5: B C= 7 ; C A=8. \text{ Tính độ dài trung tuyến AM.}\)
