Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức \( 4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\) nằm trên một đường tròn ( C ) có bán kính R. Tính (R ).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Gọi N là trung điểm đoạn BC
Gọi I là điểm thỏa: \( 4\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0 \Leftrightarrow 4\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IN} = \vec 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IN} = \vec 0\), nên điểm I thuộc đoạn thẳng AN sao cho IN=2IA
Khi đó:
\(\begin{array}{l} IA = \frac{1}{3}AN = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6};IN = \frac{2}{3}AN = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\\ I{B^2} = I{C^2} = I{N^2} + B{N^2} = \frac{{{a^2}}}{3} + \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{7{a^2}}}{{12}} \end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} 4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow 4{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow 6M{I^2} + 4I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow 6M{I^2} + 4.\frac{{{a^2}}}{{12}} + 2.\frac{{7{a^2}}}{{12}} = \frac{{5{a^2}}}{2} \Leftrightarrow MI = \frac{a}{{\sqrt 6 }} \end{array}\)
