\(\text { Cho hai vec-tơ } \vec{a} \text { và } \vec{b} \text { có }|\vec{a}|=5,|\vec{b}|=12 \text { và }|\vec{a}+\vec{b}|=13\). Tính cosin của góc giữa
hai vec-tơ \(\vec{a} \text { và } \vec{a}+\vec{b}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
\(\begin{aligned} &\text { Dựng tam giác } A B C \text { có } A B=5, B C=12, A C=13 \text { . }\\ &\text { Ta có: }|\vec{a}|=5,|\vec{b}|=12,|\vec{a}+\vec{b}|=13\\ &\text { và } \overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{B C}=\vec{b}, \overrightarrow{A C}=\vec{a}+\vec{b} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Khi đó: } \vec{a} \cdot(\vec{a}+\vec{b})=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} \\ &\text { Mặt khác: } \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=\frac{1}{2}\left(A C^{2}+A B^{2}-B C^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(13^{2}+5^{2}-12^{2}\right)=25 . \\ &\text { Vậy } \cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})=\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{A C}|}=\frac{25}{5.13}=\frac{5}{13} \end{aligned}\)
