Tam giác ABC có \(A B=c, B C=a, C A=b\) . Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức \(b\left(b^{2}-a^{2}\right)=c\left(a^{2}-c^{2}\right)\). Khi đó góc \(\widehat{B A C}\) bằng bao nhiêu độ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTheo định lí Cosin ta có \(\cos \widehat{B A C}=\frac{A B^{2}+A C^{2}-B C^{2}}{2 . A B \cdot A C}=\frac{c^{2}+b^{2}-a^{2}}{2 b c}\)
\(\begin{array}{l} \text { Mà } b\left(b^{2}-a^{2}\right)=c\left(a^{2}-c^{2}\right) \Leftrightarrow b^{3}-a^{2} b=a^{2} c-c^{3} \Leftrightarrow-a^{2}(b+c)+\left(b^{3}+c^{3}\right)=0 \\ \Leftrightarrow(b+c)\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}-b c\right)=0 \Leftrightarrow b^{2}+c^{2}-a^{2}-b c=0(\text { do } b>0, c>0) \\ \Leftrightarrow b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c \end{array}\)
Khi đó \(\cos \widehat{B A C}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{B A C}=60^{\circ}\)
