Tìm các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 1\) có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc \(O\) tạo thành một tứ giác nội tiếp.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Ta có \(y' = 4{x^3} - 4{m^2}x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2}\end{array} \right.\).
Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là \({m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = {m^4} + 1\\x = m \Rightarrow y = 1\\x = - m \Rightarrow y = 1\end{array} \right.\) .
Gọi \(A\left( {0;{m^4} + 1} \right);B\left( { - m;1} \right);C\left( {m;1} \right)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.
Vì \(B;C\) đối xứng nhau qua trục \(Oy\) và \(O;A \in Oy\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}OB = OC\\AB = AC\end{array} \right.\).
Lại có cạnh \(OA\) chung nên \(\Delta BAO = \Delta CAO\left( {c - c - c} \right)\) suy ra \(\widehat {OBA} = \widehat {OCA}\), mà tứ giác \(OBAC\) nội tiếp nên \(\widehat {OBA} + \widehat {OCA} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {OBA} = \widehat {OCA} = 90^\circ \).
Hay \(AB \bot OB \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OB} = 0\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - m; - {m^4}} \right);\,\overrightarrow {OB} = \left( { - m;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OB} = {m^2} - {m^4} = 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2}\left( {1 - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\left( L \right)\\m = 1\left( {TM} \right)\\m = - 1\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)
Vậy \(m = \pm 1.\)
Chọn A.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Lê Minh Xuân
