Xác định tập hợp \(A \subset \mathbb{R} \text { thóa } A=C \cup D\) trong đó C=(1 ; 5) và D là tập nghiệm của bất phương trình \((28-16 \sqrt{3})^{x}-6(4-2 \sqrt{3})^{x}+5 \geq 0\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t=(4-2 \sqrt{3})^{x},(t>0)\) khi đó bất phưng trình trở thành:
\(t^{2}-6 t+5 \geq 0 \Leftrightarrow t \in(-\infty ; 1] \cup[5 ;+\infty)\)
Vì t>0 nên
\(t \in(0 ; 1] \cup[5 ;+\infty) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 0<t \leq 1 \\ t \geq 5 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} t>0 \\ t \leq 1 \\ t \geq 5 \end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} (4-2 \sqrt{3})^{x}>0 \\ (4-2 \sqrt{3})^{x} \leq 1 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x \in \mathbb{R} \\ x \geq 0 \\ x \leq \log _{4-2 \sqrt{3}} 5 \end{array}\right. \\ (4-2 \sqrt{3})^{x} \geq 5 \end{array} \Leftrightarrow x \in \varnothing\right.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(D=\varnothing\)
Khi đó \(A=C \cup D=(1 ; 5) \cup \varnothing=(1 ; 5), \text { vì } A=(1 ; 5) \subset \mathbb{R}\)