Bất phương trình \(\displaystyle \frac{{{4^x} - {2^{x + 1}} + 8}}{{{2^{1 - x}}}} < {8^x}\) có nghiệm là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\displaystyle \frac{{{4^x} - {2^{x + 1}} + 8}}{{{2^{1 - x}}}} < {8^x}\)
\( \Leftrightarrow {4^x} - {2^{x + 1}} + 8 < {8^x}{.2^{1 - x}}\) (vì \({2^{1 - x}} > 0\))
\(\displaystyle \Leftrightarrow {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 < {2^{3x}}{.2^{1 - x}}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 < {2^{2x + 1}}\\
\Leftrightarrow {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 - {2^{2x + 1}} < 0\\
\Leftrightarrow {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 - {2.2^{2x}} < 0\\
\Leftrightarrow - {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 < 0
\end{array}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {2^{2x}} + {2.2^x} - 8 > 0\)
Đặt \(\displaystyle t = {2^x} > 0\) ta được: \(\displaystyle {t^2} + 2t - 8 > 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < - 4\\t > 2\end{array} \right.\).
Kết hợp với \(\displaystyle t > 0\) ta được \(\displaystyle t > 2\).
Suy ra \(\displaystyle {2^x} > 2 \Leftrightarrow x > 1\).
