Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \({9^x} – 2\left( {m + 1} \right){.3^x} – 3 – 2m > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t = {3^x}, t > 0\)
Phương trình trở thành \({t^2} – 2\left( {m + 1} \right)t – 3 – 2m > 0\)
ycbt \( \Leftrightarrow {t^2} – 2\left( {m + 1} \right)t – 3 – 2m > 0,\forall t > 0,\left( 1 \right)\)
ta có \(\Delta ‘ = {\left( {m + 2} \right)^2} \ge ,\forall m\)
Nếu \(\Delta ‘ = 0 \Leftrightarrow m = – 2\), khi đó từ \(\left( 1 \right)\) ta có \({\left( {2t + 1} \right)^2} > 0,\forall t \ne – \frac{1}{2}\)
Nếu \(m \ne – 2\) ta có \(\Delta ‘ > 0\)
khi đó \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm thỏa mãn ycbt khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ > 0\\\frac{S}{2} < 0\\P \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne – 2\\m < – 1\\m \le – \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le – \frac{3}{2}\)
Vậy \(m \le – \frac{3}{2}\).
