Trong tất cả các cặp \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn \({{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-4 \right)\ge 1\). Tìm \(m\) để tồn tại duy nhất cặp \(\left( x;y \right)\) sao cho \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y+2-m=0\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-4 \right)\ge 1\)\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+6\le 0\) \(\left( 1 \right)\).
Giả sử \(M\left( x;y \right)\) thỏa mãn pt \(\left( 1 \right)\), khi đó tập hợp điểm M là hình tròn \(\left( {{C}_{1}} \right)\) tâm \(I\left( 2;2 \right)\) bán kính \({{R}_{1}}=\sqrt{2}\).
Các đáp án đề cho đều ứng với \(m>0\). Nên dễ thấy \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y+2-m=0\) là phương trình đường tròn \(\left( {{C}_{2}} \right)\) tâm \(J\left( -1;1 \right)\) bán kính \({{R}_{2}}=\sqrt{m}\).
Vậy để tồn tại duy nhất cặp \(\left( x;y \right)\) thỏa đề khi chỉ khi \(\left( {{C}_{1}} \right)\) và \(\left( {{C}_{2}} \right)\) tiếp xúc ngoài
\(\Leftrightarrow IJ={{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Leftrightarrow \sqrt{10}=\sqrt{m}+\sqrt{2}\Leftrightarrow m={{\left( \sqrt{10}-\sqrt{2} \right)}^{2}}\).
