Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình \(m 2^{x+1}+(2 m+1)(1-\sqrt{5})^{x}+(3+\sqrt{5})^{x}<0\) có tập nghiệm là \((-\infty ; 0]\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình đã cho tương đường với :
\(2 m+(2 m+1)\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)+\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{x}<0(1)\)
Đặt \(t=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{x}>0\) ta được bất phương trình
\(2 m+(2 m+1) \frac{1}{t}+t<0 \Leftrightarrow \mathrm{f}(t)=t^{2}+2 m t+2 m+1<0\)
BPT (1) nghiệm đúng \(\forall x \leq 0\) nên BPT (2) có nghiệm \(0<t \leq 1\), suy ra
Phương trình \(f(t)=0\) có 2 nghiệm \(t_{1}, t_{2} \text { thóa } t_{1} \leq 0<1<t_{2}\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} f(0) \leq 0 \\ f(1)<0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 2 m+1 \leq 0 \\ 4 m+2<0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m \leq-0,5 \\ m<-0,5 \end{array}\right.\right.\right.\)
Vậy \(m<\frac{-1}{2}\)